Số phức và Phasors

Số phức và Phasors

Toán học được sử dụng trong Kỹ thuật điện để cộng các điện trở, dòng điện hoặc điện áp một chiều với nhau sử dụng cái được gọi là "số thực" được sử dụng dưới dạng số nguyên hoặc phân số.

Nhưng số thực không phải là loại số duy nhất chúng ta cần sử dụng, đặc biệt khi xử lý các nguồn và vectơ hình sin phụ thuộc tần số. Cũng như việc sử dụng số bình thường hoặc số thực, Số phức được giới thiệu để cho phép giải các phương trình phức tạp với các số là căn bậc hai của số âm, √ -1 .

Trong kỹ thuật điện, loại số này được gọi là “số ảo” và để phân biệt số ảo với số thực, chữ cái “ j ” thường được gọi trong kỹ thuật điện là toán tử j , được sử dụng. Do đó, chữ cái “ j ” được đặt trước một số thực để biểu thị phép toán số ảo của nó.

Ví dụ về các số ảo là: J3 , J12 , J100 vv Sau đó, một số phức tạp bao gồm hai phần riêng biệt nhưng rất nhiều liên quan, một “Real Số” cộng với một “số ảo”.

Số phức đại diện cho các điểm trong một phức hai chiều hoặc mặt phẳng s được tham chiếu đến hai trục riêng biệt. Trục hoành được gọi là "trục thực" trong khi trục tung được gọi là "trục ảo". Phần thực và phần ảo của một số phức được viết tắt lần lượt là Re (z) và Im (z).

Các số phức được tạo thành từ các số thực (thành phần hoạt động) và ảo (thành phần phản ứng) có thể được cộng, trừ và sử dụng theo cách giống hệt như đại số sơ cấp được sử dụng để phân tích mạch DC .

Các quy tắc và định luật được sử dụng trong toán học để cộng hoặc trừ các số ảo cũng giống như đối với số thực, j2 + j4 = j6, v.v. Chỉ khác là trong phép nhân vì hai số ảo được nhân với nhau sẽ trở thành một số thực âm. Số thực cũng có thể được coi là một số phức nhưng với phần ảo bằng 0 có nhãn j0.

Các j-nhà điều hành có giá trị chính xác bằng √ -1 , nhân nên tiếp của “  j  “, (  j x j  ) sẽ cho kết quả j có các giá trị sau của, -1 , -j và 1 . Vì toán tử j thường được sử dụng để chỉ sự quay ngược chiều kim đồng hồ của một vectơ, nên mỗi phép nhân hoặc lũy thừa liên tiếp của “  j  ”, j 2 , j 3 , v.v., sẽ buộc vectơ quay qua một góc cố định 90 o theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. hướng như hình bên dưới. Tương tự như vậy, nếu phép nhân vectơ cho kết quả là  -j thì độ lệch pha sẽ là -90 o , tức là quay theo chiều kim đồng hồ.

Xoay vectơ của toán tử j

 

Vì vậy, bằng cách nhân một số ảo với j 2 sẽ quay vectơ   180 o ngược chiều kim đồng hồ, nhân với j 3 sẽ xoay nó   270 o và với j 4 sẽ xoay nó   360 o hoặc trở lại vị trí ban đầu. Phép nhân với j 10 hoặc với j 30 sẽ làm cho vectơ quay ngược chiều kim đồng hồ với một lượng thích hợp. Trong mỗi lần quay liên tiếp, độ lớn của vectơ luôn không đổi.

Trong Kỹ thuật điện, có nhiều cách khác nhau để biểu diễn một số phức bằng đồ thị hoặc toán học. Một cách như vậy sử dụng quy tắc cosin và sin được gọi là Dạng Đề-các hoặc Hình chữ nhật .

Số phức sử dụng Biểu mẫu Hình chữ nhật

Trong hướng dẫn cuối cùng về Phasors , chúng ta đã thấy rằng một số phức được biểu diễn bằng một phần thực và một phần ảo có dạng tổng quát của:

• Ở đâu:
•   Z   - là Số phức đại diện cho Vectơ
•   x   - là phần Thực hoặc thành phần Hoạt động
•   y   - là phần Tưởng tượng hoặc thành phần Phản ứng
•   j   - được xác định bởi √ -1

Ở dạng hình chữ nhật, một số phức có thể được biểu diễn dưới dạng một điểm trên mặt phẳng hai chiều được gọi là mặt phẳng phức hoặc mặt phẳng s . Vì vậy, ví dụ, Z = 6 + j4 đại diện cho một điểm duy nhất có tọa độ đại diện cho 6 trên trục thực nằm ngang và 4 trên trục ảo thẳng đứng như hình bên.

Số phức sử dụng Phức hợp hoặc mặt phẳng s

 

Nhưng vì cả phần thực và phần ảo của một số phức ở dạng hình chữ nhật có thể là một số dương hoặc một số âm, nên cả trục thực và trục ảo cũng phải mở rộng theo cả chiều dương và chiều âm. Điều này sau đó tạo ra một mặt phẳng phức có bốn góc phần tư được gọi là Sơ đồ Argand như hình dưới đây.

Sơ đồ bốn góc phần tư

 

Trên biểu đồ Argand, trục hoành biểu diễn tất cả các số thực dương ở bên phải trục ảo thẳng đứng và tất cả các số thực âm ở bên trái trục ảo thẳng đứng. Tất cả các số ảo dương được biểu diễn phía trên trục hoành trong khi tất cả các số ảo âm nằm dưới trục thực nằm ngang. Sau đó, điều này tạo ra một mặt phẳng phức hai chiều với bốn góc phần tư riêng biệt được gắn nhãn là QI , QII , QIII và QIV .

Biểu đồ Argand ở trên cũng có thể được sử dụng để biểu diễn một phasor quay như một điểm trong mặt phẳng phức có bán kính được cho bởi độ lớn của phasor sẽ vẽ một vòng tròn xung quanh nó trong mỗi 2π / ω giây.

Sau đó, chúng ta có thể mở rộng ý tưởng này hơn nữa để hiển thị định nghĩa của một số phức ở cả dạng cực và hình chữ nhật đối với các phép quay 90 o .

 

Số phức cũng có thể có phần thực hoặc phần ảo bằng "không" chẳng hạn như: Z = 6 + j0 hoặc Z = 0 + j4 . Trong trường hợp này, các điểm được vẽ trực tiếp trên trục thực hoặc trục ảo. Ngoài ra, góc của một số phức có thể được tính bằng cách sử dụng lượng giác đơn giản để tính các góc của các tam giác vuông hoặc được đo ngược chiều kim đồng hồ xung quanh biểu đồ Argand bắt đầu từ trục thực dương.

Khi đó các góc từ 0 đến 90 o sẽ nằm trong góc phần tư thứ nhất (  I  ), góc (  θ  ) từ 90 đến 180 o trong góc phần tư thứ hai (  II  ). Góc phần tư thứ ba (  III  ) bao gồm các góc từ 180 đến 270 o trong khi góc phần tư thứ tư và góc phần tư cuối cùng (  IV  ) hoàn thành đường tròn đầy đủ, bao gồm các góc từ 270 đến 360 o , v.v. Trong tất cả bốn góc phần tư, các góc có liên quan có thể được tìm thấy từ:

tan -1 (thành phần ảo ÷ thành phần thực)

Phép cộng và phép trừ các số phức

Phép cộng hoặc phép trừ các số phức có thể được thực hiện bằng toán học hoặc đồ họa ở dạng hình chữ nhật. Ngoài ra, các phần thực trước hết được cộng lại với nhau để tạo thành phần thực của tổng, sau đó là các phần ảo để tạo thành phần ảo của tổng và quá trình này như sau, sử dụng hai số phức A và B làm ví dụ.

Phép cộng và phép trừ phức tạp

Số phức Ví dụ No1

Hai vectơ được xác định lần lượt là A = 4 + j1 và B = 2 + j3 . Xác định tổng và hiệu của hai vectơ ở cả dạng hình chữ nhật (  a + jb  ) và bằng đồ thị dưới dạng Biểu đồ Argand.

Phép cộng và phép trừ toán học

Thêm vào

 

Phép trừ

 

Phép cộng và phép trừ đồ họa

Phép nhân và phép chia các số phức

Phép nhân các số phức dưới dạng hình chữ nhật ít nhiều tuân theo các quy tắc giống như đối với đại số thông thường cùng với một số quy tắc bổ sung cho phép nhân liên tiếp của toán tử j trong đó: j 2  = -1 . Vì vậy, ví dụ, nhân với nhau hai vectơ của chúng ta từ phía trên của A = 4 + j1 và B = 2 + j3 sẽ cho chúng ta kết quả sau.

 

Về mặt toán học, phép chia số phức ở dạng hình chữ nhật khó thực hiện hơn một chút vì nó yêu cầu sử dụng hàm liên hợp mẫu số để chuyển mẫu số của phương trình thành một số thực. Điều này được gọi là "hợp lý hóa". Sau đó, việc chia các số phức được thực hiện tốt nhất bằng cách sử dụng "Polar Form", mà chúng ta sẽ xem xét sau. Tuy nhiên, như một ví dụ trong hình chữ nhật cho phép tìm giá trị của vector Một chia vector B .

Sự kết hợp phức tạp

Các liên hợp phức tạp , hoặc đơn giản là liên hợp của một số phức được tìm thấy bằng cách đảo ngược dấu hiệu đại số của số phức số ảo chỉ trong khi vẫn giữ dấu đại số của các số thực giống nhau và để xác định các liên hợp phức tạp của z biểu tượng z được sử dụng. Ví dụ, liên hợp của z = 6 + j4 là z  = 6 - j4 , tương tự như vậy liên hợp của z = 6 - j4 là z  = 6 + j4 .

Các điểm trên biểu đồ Argand cho một liên hợp phức có cùng vị trí nằm ngang trên trục thực với số phức ban đầu, nhưng vị trí dọc đối diện. Do đó, liên hợp phức có thể được coi là phản ánh của một số phức. Ví dụ sau đây cho thấy một số phức, 6 + j4 và liên hợp của nó trong mặt phẳng phức.

Liên hợp các số phức

 

Tổng của một số phức và liên hợp phức của nó sẽ luôn là một số thực như chúng ta đã thấy ở trên. Khi đó, phép cộng một số phức và liên hợp của nó chỉ cho kết quả là số thực hoặc thành phần tích cực, trong khi phép trừ của chúng chỉ cho một số ảo hoặc thành phần phản ứng. Liên hợp của một số phức là một yếu tố quan trọng được sử dụng trong Kỹ thuật điện để xác định công suất biểu kiến ​​của mạch xoay chiều sử dụng dạng hình chữ nhật.

Số phức sử dụng Dạng phân cực

Không giống như dạng hình chữ nhật vẽ các điểm trong mặt phẳng phức, Dạng cực của một số phức được viết theo độ lớn và góc của nó. Do đó, một vectơ dạng cực được trình bày dưới dạng:   Z = A ∠ ± θ , trong đó: Z là số phức ở dạng cực, A là độ lớn hoặc môđun của vectơ và θ là góc hoặc đối số của A có thể là tích cực hoặc tiêu cực. Độ lớn và góc của điểm vẫn giữ nguyên như đối với dạng hình chữ nhật ở trên, lần này ở dạng cực, vị trí của điểm được biểu diễn dưới dạng “hình tam giác” như hình dưới đây.

Biểu diễn dạng cực của một số phức

 

Vì biểu diễn cực của một điểm dựa trên dạng tam giác, chúng ta có thể sử dụng hình học đơn giản của tam giác, đặc biệt là lượng giác và Định lý Pythagoras về tam giác để tìm cả độ lớn và góc của số phức. Như chúng ta nhớ ở trường, lượng giác giải quyết mối quan hệ giữa các cạnh và các góc của tam giác để chúng ta có thể mô tả mối quan hệ giữa các cạnh như:

 

Sử dụng lại lượng giác, góc θ của A được cho như sau.

 

Khi đó ở dạng Polar, độ dài của A và góc của nó biểu diễn số phức thay vì một điểm. Cũng ở dạng cực, liên hợp của số phức có cùng độ lớn hoặc môđun, nó là dấu của góc thay đổi, vì vậy, ví dụ liên hợp của 6 ∠30 o sẽ là 6 ∠– 30 o .

Chuyển đổi giữa Dạng hình chữ nhật và Dạng cực

Ở dạng hình chữ nhật, chúng ta có thể biểu diễn một vectơ dưới dạng tọa độ hình chữ nhật của nó, với trục hoành là trục thực của nó và trục tung là trục ảo hoặc thành phần j của nó. Ở dạng cực, các trục thực và ảo này được biểu diễn đơn giản bằng “ A ∠θ ”. Sau đó, sử dụng ví dụ của chúng tôi ở trên, mối quan hệ giữa dạng hình chữ nhật và dạng cực có thể được định nghĩa là.

Chuyển đổi dạng cực thành dạng chữ nhật, (P → R)

 

Chúng ta cũng có thể chuyển ngược từ dạng chữ nhật sang dạng cực như sau.

Chuyển đổi dạng hình chữ nhật thành dạng cực, (R → P)

Phép nhân và phép chia dạng cực

Dạng hình chữ nhật là tốt nhất để cộng và trừ các số phức như chúng ta đã thấy ở trên, nhưng dạng cực thường tốt hơn để nhân và chia. Để nhân với nhau hai vectơ ở dạng cực, trước tiên chúng ta phải nhân với nhau hai môđun hoặc độ lớn và sau đó cộng các góc của chúng với nhau.

Phép nhân ở dạng cực

 

Nhân với nhau 6 ∠30 o và 8 ∠– 45 o ở dạng cực cho ta.

Phân chia ở dạng cực

Tương tự như vậy, để chia cho hai vectơ ở dạng cực, chúng ta phải chia hai môđun và sau đó trừ các góc của chúng như hình vẽ.

 

May mắn thay, các máy tính khoa học hiện đại ngày nay đã tích hợp sẵn các hàm toán học (kiểm tra sách của bạn) cho phép dễ dàng chuyển đổi dạng hình chữ nhật sang dạng cực, (  R → P  ) và trở lại từ dạng cực sang dạng chữ nhật, (  R → P  ).

Số phức sử dụng Dạng mũ

Cho đến nay chúng ta đã xem xét các số phức ở Dạng Hình chữ nhật , (  a + jb  ) và Dạng Cực , (  A ∠ ± θ  ). Nhưng cũng có một phương pháp thứ ba để biểu diễn một số phức tương tự như dạng cực tương ứng với độ dài (độ lớn) và góc pha của hình sin nhưng sử dụng cơ số của lôgarit tự nhiên, e  = 2,718 281 .. để tìm giá trị của số phức. Phương pháp thứ ba này được gọi là Dạng lũy ​​thừa .

Dạng mũ sử dụng các hàm lượng giác của cả giá trị sin (  sin  ) và côsin (  cos  ) của một tam giác vuông góc để xác định cấp số nhân phức là một điểm quay trong mặt phẳng phức. Dạng hàm mũ để tìm vị trí của điểm dựa trên Nhận dạng của Euler , được đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ, Leonhard Euler và được cho là:

Sau đó, danh tính của Euler có thể được biểu diễn bằng sơ đồ phasor xoay sau đây trong mặt phẳng phức.

 

Chúng ta có thể thấy rằng nhận dạng của Euler rất giống với dạng cực ở trên và nó cho chúng ta thấy rằng một số như A e  jθ có độ lớn bằng 1 cũng là một số phức. Chúng ta không chỉ có thể chuyển các số phức ở dạng mũ thành dạng cực dễ dàng như: 2 e  j30  = 2∠30 , 10 e  j120  = 10∠120 hoặc -6 e  j90  = -6∠90 , mà danh tính của Euler còn cho chúng ta một cách để chuyển một số phức từ dạng mũ thành dạng chữ nhật của nó. Sau đó, mối quan hệ giữa, dạng mũ, cực và hình chữ nhật trong việc xác định một số phức được cho là.

Dạng số phức

Ký hiệu Phasor

Cho đến nay chúng ta đã xem xét các cách khác nhau để biểu diễn một vectơ quay hoặc một vectơ đứng yên bằng cách sử dụng các số phức để xác định một điểm trên mặt phẳng phức. Ký hiệu Phasor là quá trình xây dựng một số phức duy nhất có biên độ và góc pha của dạng sóng hình sin đã cho.

Khi đó ký hiệu phasor hoặc phép biến đổi phasor như đôi khi được gọi, chuyển phần thực của hàm hình sin: A (t)  = A m  cos (ωt ± Φ) từ miền thời gian sang miền số phức còn được gọi là miền tần số . Ví dụ:

Xin lưu ý rằng √ 2 biến đổi biên độ cực đại thành giá trị hiệu dụng hoặc RMS với góc pha cho trước tính bằng radian, (  ω  ).

Tóm tắt các số phức

Sau đó, để tóm tắt hướng dẫn này về Số phức và việc sử dụng số phức trong kỹ thuật điện.

• Số phức bao gồm hai số phân biệt, một số thực và một số ảo.
• Số ảo được phân biệt với số thực bằng cách sử dụng toán tử j.
• Một số có chữ cái " j " ở phía trước xác định nó là một số ảo trong mặt phẳng phức.
• Theo định nghĩa, toán tử j j ≡ √ -1
• Các số tưởng tượng có thể được cộng, trừ, nhân và chia giống như số thực.
• Phép nhân “ j ” với “ j ” cho j 2  = -1
• Trong Dạng hình chữ nhật, một số phức được biểu diễn bằng một điểm trong không gian trên mặt phẳng phức.
• Trong Dạng cực, một số phức được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có độ dài là biên độ và góc pha.
• Trong Dạng mũ, một số phức được biểu diễn bằng một đoạn thẳng và góc tương ứng sử dụng cơ số của lôgarit tự nhiên.
• Một số phức có thể được biểu diễn theo một trong ba cách:
  • Z = x + jy    »Dạng hình chữ nhật
  • Z = A ∠Φ    »Dạng cực
  • Z = A  e  jΦ    »Dạng hàm mũ
• Danh tính của Euler có thể được sử dụng để chuyển đổi Số phức từ dạng hàm mũ thành dạng hình chữ nhật.

Trong các hướng dẫn trước bao gồm cả hướng dẫn này, chúng ta đã thấy rằng chúng ta có thể sử dụng các phasors để biểu diễn các dạng sóng hình sin và biên độ và góc pha của chúng có thể được viết dưới dạng một số phức. Chúng ta cũng đã thấy rằng Số phức có thể được trình bày dưới dạng hình chữ nhật, cực hoặc hàm mũ với sự chuyển đổi giữa mỗi dạng đại số số phức bao gồm cộng, trừ, nhân và chia.

Trong một số hướng dẫn tiếp theo liên quan đến mối quan hệ phasor trong mạch nối tiếp AC, chúng ta sẽ xem xét trở kháng của một số thành phần mạch thụ động phổ biến và vẽ biểu đồ phasor cho cả dòng điện chạy qua thành phần và điện áp đặt trên nó bắt đầu bằng AC. Sức cản.