Biểu đồ Phasor và Đại số Phasor

Biểu đồ Phasor và Đại số Phasor

Biểu đồ Phasor là một cách đồ họa để biểu diễn mối quan hệ độ lớn và hướng giữa hai hoặc nhiều đại lượng xen kẽ

Các dạng sóng hình sin có cùng tần số có thể có Chênh lệch pha giữa chúng thể hiện sự khác biệt về góc của hai dạng sóng hình sin. Ngoài ra, các thuật ngữ “dẫn” và “trễ” cũng như “trong pha” và “lệch pha” thường được sử dụng để chỉ mối quan hệ của dạng sóng này với dạng sóng khác với biểu thức hình sin tổng quát được cho là: A (t )  = A m  sin (ωt ± Φ) biểu diễn hình sin ở dạng miền thời gian.

Nhưng khi được trình bày một cách toán học theo cách này, đôi khi rất khó để hình dung sự khác biệt về góc hoặc phasor này giữa hai hoặc nhiều dạng sóng hình sin. Một cách để khắc phục vấn đề này là biểu diễn các hình sin bằng đồ thị dưới dạng miền không gian hoặc miền phasor bằng cách sử dụng Biểu đồ Phasor , và điều này đạt được bằng phương pháp vectơ quay.

Về cơ bản, một vectơ quay, được gọi đơn giản là “ Phasor ” là một đường chia tỷ lệ có độ dài đại diện cho một đại lượng AC có cả độ lớn (“biên độ đỉnh”) và hướng (“pha”) được “đóng băng” tại một thời điểm nào đó.

Phasor là một vectơ có một đầu mũi tên ở một đầu biểu thị một phần giá trị lớn nhất của đại lượng vectơ (  V hoặc I  ) và một phần là điểm cuối của vectơ quay.

Nói chung, vectơ được giả định quay ở một đầu quanh một điểm 0 cố định được gọi là “điểm gốc” trong khi đầu có mũi tên biểu thị đại lượng, quay tự do theo hướng ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc, (  ω  ) bằng một cuộc cách mạng cho mọi chu kỳ. Chuyển động quay ngược chiều kim đồng hồ của vectơ này được coi là chuyển động quay thuận. Tương tự như vậy, một vòng quay theo chiều kim đồng hồ được coi là một vòng quay âm.

Mặc dù cả hai thuật ngữ vectơ và phasors đều được sử dụng để mô tả một đường quay mà bản thân nó có cả độ lớn và hướng, sự khác biệt chính giữa hai thuật ngữ là độ lớn của vectơ là “giá trị đỉnh” của hình sin trong khi độ lớn của phasors là “ giá trị rms ”của hình sin. Trong cả hai trường hợp góc và hướng pha không đổi.

Pha của một đại lượng xoay chiều tại bất kỳ thời điểm nào trong thời gian có thể được biểu diễn bằng biểu đồ phasor, do đó, biểu đồ phasor có thể được coi là "hàm của thời gian". Một sóng hình sin hoàn chỉnh có thể được xây dựng bởi một vectơ duy nhất quay với vận tốc góc ω = 2πƒ , trong đó ƒ là tần số của dạng sóng. Khi đó Phasor là một đại lượng có cả “Độ lớn” và “Hướng”.

Nói chung, khi xây dựng giản đồ phasor, vận tốc góc của sóng hình sin luôn được giả định là: ω tính bằng rad / giây. Hãy xem xét sơ đồ phasor dưới đây.

Sơ đồ Phasor của dạng sóng hình sin

 

Khi vectơ đơn quay theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, đầu của nó tại điểm A sẽ quay một vòng hoàn chỉnh 360 o hoặc 2π biểu thị một chu kỳ hoàn chỉnh. Nếu chiều dài của mũi chuyển động của nó được chuyển theo các khoảng thời gian khác nhau theo thời gian thành một đồ thị như hình trên, một dạng sóng hình sin sẽ được vẽ bắt đầu từ bên trái với thời gian bằng không. Mỗi vị trí dọc theo trục hoành cho biết thời gian đã trôi qua kể từ thời điểm 0, t = 0 . Khi vectơ nằm ngang, đỉnh của vectơ biểu diễn các góc 0 o , 180 o và 360 o .

Tương tự như vậy, khi đỉnh của vectơ thẳng đứng, nó biểu thị giá trị đỉnh dương, (  + Am  ) ở 90 o hoặc π / 2 và giá trị đỉnh âm, (  -Am  ) ở 270 o hoặc 3π / 2 . Sau đó, trục thời gian của dạng sóng biểu diễn góc theo độ hoặc radian mà phasor di chuyển qua đó. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng một phasor đại diện cho một giá trị điện áp hoặc dòng điện được chia tỷ lệ của một vectơ quay được "đóng băng" tại một thời điểm nào đó, (  t  ) và trong ví dụ của chúng ta ở trên, nó ở một góc 30 o .

Đôi khi khi chúng ta đang phân tích các dạng sóng xen kẽ, chúng ta có thể cần biết vị trí của phasor, đại diện cho Số lượng Xen kẽ tại một số thời điểm cụ thể, đặc biệt khi chúng ta muốn so sánh hai dạng sóng khác nhau trên cùng một trục. Ví dụ, điện áp và dòng điện. Chúng ta đã giả định trong dạng sóng ở trên rằng dạng sóng bắt đầu tại thời điểm t = 0 với góc pha tương ứng tính bằng độ hoặc radian.

Nhưng nếu dạng sóng thứ hai bắt đầu ở bên trái hoặc bên phải của điểm 0 này hoặc chúng ta muốn biểu diễn bằng ký hiệu phasor mối quan hệ giữa hai dạng sóng thì chúng ta sẽ cần tính đến độ lệch pha này, Φ của dạng sóng. Hãy xem xét sơ đồ bên dưới từ hướng dẫn Sự khác biệt Giai đoạn trước .

Chênh lệch pha của dạng sóng hình sin

 

Biểu thức toán học tổng quát để xác định hai đại lượng hình sin này sẽ được viết dưới dạng:

 

Dòng điện, i đang làm trễ điện áp, v bằng góc Φ và trong ví dụ trên của chúng tôi là 30 o . Vì vậy, sự khác biệt giữa hai phasors đại diện cho hai đại lượng hình sin là góc Φ và biểu đồ phasor kết quả sẽ là.

Sơ đồ Phasor của dạng sóng hình sin

 

Biểu đồ phasor được vẽ tương ứng với thời gian không (  t = 0  ) trên trục hoành. Chiều dài của phasors tỷ lệ với các giá trị của điện áp, (V) và dòng điện, (I) tại thời điểm mà biểu đồ phasor được vẽ. Phasor hiện tại trễ phasor điện áp một góc, Φ , vì hai phasor quay theo hướng ngược chiều kim đồng hồ như đã nêu trước đó, do đó góc, Φ cũng được đo theo cùng hướng ngược chiều kim đồng hồ.

Tuy nhiên, nếu các dạng sóng bị đóng băng tại thời điểm t = 30 o , biểu đồ phasor tương ứng sẽ giống như hình bên phải. Một lần nữa phasor hiện tại lại đi sau phasor điện áp vì hai dạng sóng có cùng tần số.

Tuy nhiên, vì dạng sóng hiện tại đang đi qua đường trục 0 nằm ngang tại thời điểm này, chúng ta có thể sử dụng phasor hiện tại làm tham chiếu mới của mình và nói một cách chính xác rằng phasor điện áp đang “dẫn đầu” phasor hiện tại theo góc, Φ . Dù bằng cách nào, một phasor được chỉ định là phasor tham chiếu và tất cả các phasor khác sẽ dẫn đầu hoặc tụt hậu đối với tham chiếu này.

Phasor Addition

Đôi khi cần thiết khi nghiên cứu hình sin để cộng hai dạng sóng xoay chiều với nhau, ví dụ trong mạch nối tiếp xoay chiều, không cùng pha với nhau. Nếu chúng cùng pha tức là không có sự lệch pha thì chúng có thể được cộng lại với nhau theo cách giống như các giá trị DC để tìm tổng đại số của hai vectơ. Ví dụ: nếu hai điện áp tương ứng là 50 vôn và 25 vôn cùng "pha", chúng sẽ cộng hoặc cộng lại với nhau để tạo thành một điện áp 75 vôn (50 + 25).

Tuy nhiên, nếu chúng không cùng pha nghĩa là chúng không có hướng hoặc điểm bắt đầu giống hệt nhau thì góc pha giữa chúng cần được tính đến để chúng được cộng lại với nhau bằng cách sử dụng biểu đồ phasor để xác định Phasor kết quả hoặc Tổng vectơ của chúng bằng cách sử dụng luật hình bình hành .

Xét hai điện áp xoay chiều, V 1 có điện áp cực đại là 20 vôn và V 2 có điện áp cực đại là 30 vôn trong đó V 1 dẫn V 2 bằng 60 o . Có thể tìm tổng hiệu điện thế, V T của hai hiệu điện thế trước hết bằng cách vẽ giản đồ phasor biểu diễn hai vectơ rồi dựng hình bình hành trong đó hai cạnh là hiệu điện thế V 1 và V 2 như hình dưới đây.

Phasor Bổ sung hai Phasors

 

Bằng cách vẽ ra hai phasor để chia tỷ lệ trên giấy đồ thị, có thể dễ dàng tìm thấy tổng phasor của chúng V 1  + V 2 bằng cách đo độ dài của đường chéo, được gọi là "vectơ r kết quả", từ điểm 0 đến giao điểm của các đường xây dựng 0-A . Nhược điểm của phương pháp đồ họa này là tốn thời gian khi vẽ các phasors theo tỷ lệ.

Ngoài ra, mặc dù phương pháp đồ họa này đưa ra câu trả lời đủ chính xác cho hầu hết các mục đích, nhưng nó có thể tạo ra lỗi nếu không được vẽ chính xác hoặc chính xác để chia tỷ lệ. Sau đó, một cách để đảm bảo rằng luôn thu được câu trả lời chính xác là sử dụng phương pháp phân tích.

Về mặt toán học chúng ta có thể thêm hai điện áp với nhau bằng trước hết là tìm kiếm “thẳng đứng” và họ hướng “ngang”, và từ này thì chúng ta có thể tính toán cả “thẳng đứng” và các thành phần “ngang” cho kết quả “vector r”, V T . Phương pháp phân tích sử dụng quy tắc cosin và sin để tìm giá trị kết quả này thường được gọi là Dạng hình chữ nhật .

Ở dạng hình chữ nhật, phasor được chia thành một phần thực, x và một phần ảo, y tạo thành biểu thức tổng quát   Z = x ± jy . (chúng ta sẽ thảo luận chi tiết hơn về vấn đề này trong hướng dẫn tiếp theo). Sau đó, điều này cho chúng ta một biểu thức toán học biểu thị cả độ lớn và pha của điện áp hình sin là:

Định nghĩa của một hình sin phức tạp

Vì vậy, phép cộng hai vectơ, A và B bằng cách sử dụng biểu thức tổng quát trước đó như sau:

Phép cộng Phasor sử dụng Dạng hình chữ nhật

Điện áp, V 2 của 30 vôn điểm theo hướng tham chiếu dọc theo trục 0 nằm ngang, khi đó nó có thành phần nằm ngang nhưng không có thành phần thẳng đứng như sau.

• • Thành phần nằm ngang = 30 cos 0 o = 30 volt
• • Thành phần dọc = 30 sin 0 o = 0 vôn
• Điều này sau đó cho chúng ta biểu thức hình chữ nhật cho điện áp V 2 của:   30 + j0

Điện áp, V 1 trong 20 vôn dẫn điện áp, V 2 bằng 60 o , khi đó nó có cả thành phần ngang và dọc như sau.

• • Thành phần nằm ngang = 20 cos 60 o = 20 x 0,5 = 10 volt
• • Thành phần dọc = 20 sin 60 o = 20 x 0,866 = 17,32 vôn
• Điều này sau đó cho chúng ta biểu thức hình chữ nhật cho điện áp V 1 của:   10 + j17,32

Điện áp kết quả, V T được tìm thấy bằng cách cộng các thành phần ngang và dọc như sau.

• V Ngang = tổng các phần thực của V 1 và V 2 = 30 + 10 = 40 vôn
• V Dọc = tổng các phần ảo của V 1 và V 2 = 0 + 17,32 = 17,32 vôn

Bây giờ cả giá trị thực và ảo đều đã được tìm thấy độ lớn của điện áp, V T được xác định đơn giản bằng cách sử dụng Định lý Pythagoras cho một tam giác 90 o như sau.

 

Sau đó, sơ đồ phasor kết quả sẽ là:

Giá trị kết quả của V T

Phép trừ Phasor

Phép trừ Phasor rất giống với phương pháp cộng hình chữ nhật ở trên, ngoại trừ lần này hiệu véc tơ là đường chéo khác của hình bình hành giữa hai hiệu điện thế V 1 và V 2 như hình vẽ.

Phép trừ véc tơ của hai Phasors

Lần này thay vì “cộng” cả thành phần ngang và dọc, chúng ta lấy chúng đi, trừ đi.

Sơ đồ Phasor 3 pha

Trước đây chúng ta chỉ xem xét các dạng sóng xoay chiều một pha trong đó một cuộn dây nhiều vòng quay trong từ trường. Nhưng nếu đặt ba cuộn dây giống hệt nhau với cùng số vòng dây, đặt lệch nhau một góc 120 o so với nhau trên cùng một trục rôto thì sẽ tạo ra một nguồn điện áp ba pha.

Nguồn điện áp ba pha cân bằng gồm ba điện áp riêng hình sin đều có độ lớn và tần số bằng nhau nhưng lệch pha với nhau đúng 120 o độ điện.

Thực hành tiêu chuẩn là mã màu cho ba pha là Đỏ , Vàng và Xanh lam để xác định từng pha riêng lẻ với pha đỏ là pha tham chiếu. Trình tự quay bình thường của nguồn cung cấp ba pha là Đỏ, tiếp theo là Vàng, sau đó là Xanh lam , (  R , Y , B  ).

Như với các phasors một pha ở trên, các phasors đại diện cho hệ thống ba pha cũng quay theo hướng ngược chiều kim đồng hồ quanh một điểm trung tâm như được chỉ ra bởi mũi tên được đánh dấu ω tính bằng rad / s. Các phasors cho hệ thống kết nối sao hoặc tam giác cân bằng ba pha được hiển thị bên dưới.

Sơ đồ Phasor ba pha

 

Các điện áp pha đều có độ lớn bằng nhau nhưng chỉ khác nhau về góc pha của chúng. Ba cuộn dây của cuộn dây được nối với nhau tại các điểm a 1 , b 1 và c 1 để tạo ra kết nối trung tính chung cho ba pha riêng lẻ. Sau đó, nếu pha màu đỏ được lấy làm pha chuẩn thì mỗi điện áp pha riêng lẻ có thể được xác định đối với trung tính chung.

Phương trình điện áp ba pha

 

Nếu điện áp pha màu đỏ, V RN được lấy làm điện áp tham chiếu như đã nêu trước đó thì thứ tự pha sẽ là R  -  Y  -  B do đó điện áp ở pha màu vàng trễ hơn V RN 120 o , và điện áp ở pha màu xanh dương trễ hơn V YN cũng bằng 120 o . Nhưng chúng ta cũng có thể nói điện áp pha xanh lam, V BN dẫn điện áp pha đỏ, V RN bằng 120 o .

Một điểm cuối cùng về hệ thống ba pha. Vì ba điện áp hình sin riêng lẻ có mối quan hệ cố định với nhau là 120 o nên chúng được cho là "cân bằng", do đó, trong một bộ điện áp ba pha cân bằng, tổng pha của chúng sẽ luôn bằng không như:   V a  + V b  + V c  = 0

Tóm tắt sơ đồ Phasor

Sau đó, để tóm tắt hướng dẫn này về Sơ đồ Phasor một chút.

Nói một cách đơn giản nhất, biểu đồ phasor là hình chiếu của một vectơ quay lên một trục nằm ngang biểu thị giá trị tức thời. Vì một biểu đồ phasor có thể được vẽ để biểu diễn bất kỳ thời điểm nào của thời gian và do đó bất kỳ góc nào, phasor tham chiếu của một đại lượng xoay chiều luôn được vẽ dọc theo hướng trục x dương.

• Vectơ, Phasors và Sơ đồ Phasor CHỈ áp dụng cho các đại lượng xoay chiều hình sin.
• Biểu đồ Phasor có thể được sử dụng để biểu diễn hai hoặc nhiều đại lượng hình sin đứng yên tại bất kỳ thời điểm nào.
• Nói chung phasor tham chiếu được vẽ dọc theo trục hoành và tại thời điểm đó cùng lúc các phasor khác được vẽ. Tất cả các phasors được vẽ tham chiếu đến trục 0 nằm ngang.
• Biểu đồ phasor có thể được vẽ để biểu diễn nhiều hơn hai hình sin. Chúng có thể là điện áp, dòng điện hoặc một số đại lượng xoay chiều khác nhưng tần số của tất cả chúng phải giống nhau .
• Tất cả các phasors được vẽ quay theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Tất cả các phasors phía trước phasor tham chiếu được cho là "dẫn đầu" trong khi tất cả các phasors phía sau phasor tham chiếu được cho là "tụt hậu".
• Nói chung, chiều dài của phasor đại diện cho giá trị rms của đại lượng hình sin hơn là giá trị lớn nhất của nó.
• Các hình sin có tần số khác nhau không thể được biểu diễn trên cùng một biểu đồ phasor do tốc độ khác nhau của các vectơ. Tại bất kỳ thời điểm nào, góc pha giữa chúng sẽ khác nhau.
• Hai hoặc nhiều vectơ có thể được cộng hoặc trừ với nhau và trở thành một vectơ duy nhất, được gọi là Vectơ kết quả .
• Cạnh ngang của vectơ bằng vectơ thực hoặc vectơ “x”. Cạnh thẳng đứng của vectơ bằng vectơ ảo hoặc vectơ “y”. Cạnh huyền của tam giác vuông góc tương đương với vectơ “r”.
• Trong hệ thống cân bằng ba pha, mỗi phasor riêng lẻ được dịch chuyển 120 o .

Trong phần hướng dẫn tiếp theo về Lý thuyết AC, chúng ta sẽ xem xét biểu diễn dạng sóng hình sin dưới dạng Số phức ở dạng Hình chữ nhật, Dạng cực và Dạng mũ.